推导

赵爽弦图

《周髀算经》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为弦 [5]。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”

用现代的语言描述就是，在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽给出了如下的证明方法 ：

如图所示，外围的大正方形边长为a+b，它被划分为长为a和长为b的两部分。从图中可以观察到，线段AB、线段AF、线段BE和线段EF的长度都是c，因此四边形 ABEF 也是一个正方形，正方形ABEF内部的四个三角形是全等的直角三角形，它们的属性和形状都相同，并且两直角边长分别为a和b。

证明：通过采用不同的方法计算并表示出外围大正方形的面积，再放到等式左右两边，化简后即可得出结。一种方法是利用正方形面积=边长×边长，即。另一种方法是将正方形ABEF 的面积和四个三角形的面积相加，即。这两种方法都可以得出外围大正方形的面积，即，化简后可得。

定理用途

已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。

公元前十一世纪，数学家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。编写于公元前一世纪以前的《周髀算经》中记录着商高与周公的一段对话。商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。

而《周髀算经》卷上之二中，陈子在与荣方的对答中说“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这是勾股定理的普遍性表述。

公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。

在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。

1．勾股定理的证明是论证几何的发端。

2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。

3．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。

4．勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程

勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理表述为：如果一个三角形的三条边长a、b和c（其中c是最长边）满足关系式，那么这个三角形是一个直角三角形，并且直角位于a和b所夹的角处。

勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是否为直角三角形，在几何证明、研究三角形边角关系时有重要作用。

应用

勾股定理在许多领域都有广泛的应用。

建筑设计

勾股定理在建筑领域中非常重要，它帮助工程师和建筑师计算斜面、楼梯、屋顶或任何倾斜结构的长度。例如，在设计楼梯时，通过测量直角三角形的两个直角边（即楼梯的垂直高度和水平长度），可以使用勾股定理计算出楼梯斜面的实际长度，从而确保楼梯符合安全标准和舒适度。

航海导航

航海中使用勾股定理可以帮助船员确定最短的航线。在规划从一个坐标点到另一个坐标点的路线时，尽管这些点在地图上可能是通过曲线或多个直线段连接的，但通过将这些点视为直角三角形的顶点，可以使用勾股定理计算出最短的直线距离。

计算机图形学

在计算机图形学中，勾股定理用于计算像素点之间的距离，常用于处理图像渲染、动画制作和视频游戏开发。例如当在屏幕上移动或旋转对象时，开发者需要计算对象的新位置，勾股定理可以帮助他们确定这些对象在二维空间中各点之间的精确距离，从而实现平滑且准确的图形表现。